Ý tưởng cho rằng ngôn ngữ chỉ là một dạng mã có vẻ dễ dàng chấp nhận. Chắc hẳn là nhiều người trong số chúng ta ít nhất một lần cũng đã thử học một ngoại ngữ nào đó ở bậc đại học, nên chúng ta sẽ sẵn lòng mà thừa nhận rằng con vật mà ta gọi là “cat” trong tiếng Anh hay “mèo” trong tiếng Việt thì chúng cũng có thể là con gato, chat, Katze, KOIIIKa hay Kάττα.
Thế nhưng số thì có vẻ như ít ảnh hưởng bởi các nền văn hóa khác nhau. Bất kể ngôn ngữ nào mà ta dùng để nói hay cách ta phát âm các chúng có khác nhau đi nữa, thì dường như mọi người bắt gặp nhau trên hành tinh này đều viết theo một cách:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đâu phải như không mà người ta gọi toán học là “ngôn ngữ của vũ trụ”!Số chắc chắn là các mã trừu tượng nhất mà chúng ta gặp hằng ngày. Khi ta thấy một con số
3
Chúng ta không cần phải liên hệ nó với điều gì ngay lập tức. Ta có thể hình dung ra 3 quả táo hay 3 vật gì đó, nhưng ta có thể thoải mái mà nghiệm ra từ ngữ cảnh rằng số đó đang ám chỉ tới sinh nhật của một cậu bé, một kênh truyền hình, một điểm số khúc côn cầu hay số cốc bột mì trong công thức làm bánh hay tháng Ba. Bởi vì các chữ số này rất trừu tượng lúc mới học, nó càng khó hơn để hiểu rằng số lượng quả táo
🍎🍎🍎
không nhất thiết phải được ký hiệu là
3
Toàn bộ chương này và chương sau sẽ được dùng để thuyết phục chính mình là số quả táo này
🍎🍎🍎
có thể được biểu thị bằng cách viết
11
Đến khi đạt được điều đó, ta có thể bắt đầu dùng số trong mạch điện và sau này là máy tính. Nhưng nếu càng hiểu rõ hơn về chữ số ta hay dùng thì sẽ càng dễ dàng để thực hiện bước nhảy đó hơn.
Ngay từ buổi sơ khai, con người đã dùng ngón tay để đếm. Phần đa các nền văn minh vì thế đã dùng 10 làm nền tảng cho bộ số. Chỉ một vài ngoại lệ hiếm hoi dùng hệ số đếm dựa trên 5, 20, hay 60, mà đều liên quan gần gũi với 10. (Hệ số Babylon cổ đại dựa trên 60 vẫn còn tồn tại trong hệ thống đếm thời gian bằng giây và phút.) Vốn dĩ đã không có gì đặc biệt về hệ số đếm của ta ngoại trừ mối quan hệ trực tiếp của nó với bàn tay người. (Vậy tại sao tay con người có 10 ngón? Tại sao lại tiến hoá theo cách đó mà không tiến hoá thành 8 hay 12 ngón?) Nếu giống loài của ta phát triển với 8 hay 12 ngón thì cách đếm đã khác đi một tí. Không phải trùng hợp mà từ digit có thể ám chỉ các ngón tay hay ngón chân hay các con số cũng như từ five và fist đều có chung nguồn gốc.
Nên theo nghĩa đó, sử dụng hệ số mười, hay hệ thập phân, hoàn toàn là ngẫu nhiên. Thế nhưng ta lại cấp cho các con số thập phân ấy một ý nghĩa gần như là kỳ diệu và cho chúng những cái tên đặc biệt. Mười năm là một thập kỷ; mười thập kỷ là một thế kỷ; mười thế kỷ là một thiên niên kỷ. (Ổng mà nói tiếp mười thiên niên kỷ là gì nữa là tui bó tay!!!). Một ngàn ngàn là một triệu; một ngàn triệu là một tỉ. Các con số này đều là lũy thừa của mười:
Đa phần các nhà sử học tin rằng các con số ban đầu được phát kiến ra là để đếm, như đếm người, tài sản, và các giao dịch trong buôn bán. Ví dụ, nếu ai đó có bốn con vịt, có thể ghi lại bằng cách vẽ ra bốn con vịt:
🦆🦆🦆🦆
Sau cùng cái người mà nghề của họ là vẽ mấy con vịt ấy mới nghĩ, “Tại sao mình lại vẽ ra bốn con vịt chi cho khổ nhỉ? Sao mình không vẽ một con thôi rồi dùng cách gì đó để đánh dấu là có bốn con, mình không biết nữa, một đường rạch hay sao ta?”
🦆 ////
Đến một ngày nào đó có một khứa nào đó có 27 con vịt, và các vết rạch khi đó trông thật nực cười:
🦆 ///////////////////////////
Khứa đó nói, “Phải có một cách tốt hơn chứ”, và thế là hệ số ra đời.
Trong tất cả các hệ số mới chớm, chỉ các chữ số La Mã là vẫn còn được dùng phổ biến. Bạn thấy chúng trên mặt đồng hồ, được dùng cho ngày trên các đền và tượng, cho các chương và trang đánh số trong sách, cho các sản phẩm giảm giá và – khó chịu nhất – cho các thông báo bản quyền trong phim. Câu hỏi “Tấm ảnh này được chụp vào năm nào?” chỉ có thể trả lời được khi có ai đó đủ nhanh để dịch MCMLIII khi phần đuôi của đoạn danh đề đi qua.
Hai mươi bảy con vịt trong hệ số La mã là
🦆 XXVII
Nguyên lý ở đây khá dễ: chữ X đại diện cho 10 vết rạch và chữ V đại diện cho 5 vết rạch.
Các ký hiệu số La mã còn tồn tại đến hôm nay là
I V X L C D M
Chữ I cho một. Nó có thể bắt nguồn từ một vết rạch hay một ngón tay chỉ lên. Chữ V, có lẻ là ký hiệu cho bàn tay, đại diện cho năm. Hai chữ V tạo thành một chữ X, đại diện cho mười. Chữ L là năm mươi. Chữ C xuất phát từ centum, là chữ Latin cho một trăm. D là năm trăm. Cuối cùng, M bắt nguồn từ chữ Latin mille, là một ngàn. Với một ngàn bước trái phải, bạn sẽ đi được một dặm.
Mặc dù có thể ta không đồng ý, nhưng trong một khoảng thời gian dài hệ số La Mã được xem là dễ cộng và trừ, và đó là lý do tại sao chúng tồn tại rất lâu ở Châu Âu trong sổ sách kế toán. Thật ra, khi cộng hai số La mã, bạn đơn giản chỉ việc gộp tất cả các ký hiệu từ các số rồi rút gọn kết quả bằng một vài quy tắc: Năm chữ I thành một chữ V, hai V thành một X, năm X thành một L và cứ thế.
Nhưng để nhân và chia chữ số La mã thì khó. Nhiều hệ chữ số nguyên sơ khác (như của Hi lạp cổ đại) cũng tương tự, không đủ để làm việc với các con số một cách đầy đủ nhất. Trong khi người Hi lạp phát triển một môn hình học phi thường mà vẫn còn được dạy nguyên sơ không đổi ở các trường đại học tới nay, thì môn số học của họ không còn được nhớ tới.
Hệ số đếm ta dùng ngày nay được biết đến là hệ Hindu-Arabic hay Indo-Arabic. Nó có nguồn gốc từ người Ấn Độ nhưng được mang đến Châu Âu bởi các nhà toán học Ả rập. Có lẽ vị học giả nổi tiếng đó là nhà toán học người Ba Tư Muhammed ibn-Musa al-Khwarizmi (từ algorithm bắt nguồn từ tên của ông) là người viết một cuốn đại số dùng hệ đếm Hindu khoảng năm 820 sau công nguyên. Một bản dịch Latin có từ 1120 sau công nguyên đã ảnh hưởng đến quá trình truyền lan trên khắp châu Âu trong sự chuyển biến từ chữ số La Mã sang hệ Hindu-Arabic hiện tại mà ta dùng.
Hệ số Hindu-Arabic khác với các hệ số trước đó ở ba điểm:
Hệ số Hindu-Arabic được cho là có tính thứ tự, có nghĩa là một con số cụ thể đại diện cho một lượng khác nhau phụ thuộc vào vị trí mà nó được tìm thấy trong số. Nơi mà các chữ số xuất hiện trong một số có ý nghĩa còn hơn cả chính con số ấy. Cả hai số 100 và 1.000.000 đều có một số 1 trong đó, nhưng chúng ta đều biết một triệu thì lớn hơn một trăm rất nhiều.
Thật ra thì tất các hệ số trước đó đều có một thứ mà hệ Hindu-Arabic không có, đó là một ký hiệu đặc biệt cho số mười. Trong hệ chữ số của ta, không có ký hiệu nào cho mười cả.
Mặt khác, thì cũng hầu như tất cả các hệ chữ số trước đều thiếu một thứ mà hệ chữ Hindu-Arabic có, và nó trở nên quan trọng hơn nhiều so với ký hiệu cho mười. Đó là con số không.
Vâng, số không. Không ai khác ngoài số không là một trong những phát minh quan trọng bậc nhất trong lịch sử số và toán học. Nó hỗ trợ ký hiệu theo thứ tự vì nó cho phép ta ngay lập tức thấy được sự khác nhau giữa 25 với 205 và 250. Số 0 làm dễ đi nhiều phép tính toán học mà trông sẽ rất vụng về trong hệ số không có thứ tự, cụ thể là nhân và chia.
Toàn bộ cấu trúc hệ số Hindu-Arabic được tiết lộ qua cách ta phát âm chúng. Lấy số 4825 làm ví dụ. Ta nói “bốn ngàn, tám trăm, hai mươi lăm”. Đó có nghĩa là
bốn ngàn tám trăm hai mươi và năm.
Hay ta có thể viết các thành phần như sau:
4825 = 4000 + 80 + 20 + 5
Hay tách nhỏ thêm, ta có thể viết thành:
4825 = 4 × 1000 + 8 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1
Hay, sử dụng lũy thừa của mười, số đó có thể viết lại là:
4825 = 4 × 10＾3 + 8 × 10＾2 + 2 × 10＾1 + 5 × 10＾0
Nên nhớ rằng bất kể số nào lũy thừa 0 đều bằng 1.
Mỗi vị trí trong một số nhiều chữ số có một ý nghĩa cụ thể. Bảy hộp được vẽ ra dưới đây cho chúng ta đại diện bất kì số nào từ 0 tới 9.999.999:
⬜️, ⬜️ ⬜️ ⬜️, ⬜️ ⬜️ ⬜️
| | | | | | |___ Số hàng đơn vị
| | | | | |______ Số hàng chục
| | | | |_________ Số hàng trăm
| | | |_____________ Số hàng ngàn
| | |________________ Số hàng chục ngàn
| |___________________ Số hàng trăm ngàn
|_______________________ Số hàng triệu
Mỗi vị trí tương ứng với một số mũ của mười, một ký hiệu đặc biệt cho mười là không cần thiết, vì phần chục được đại diện bởi số 1 nằm ở các vị trí khác nhau và dùng 0 để lấp đầy.
Một điều cũng thực sự đẹp đó là phân số được viết bên phải dấu phẩy thập phân theo cùng một khuôn mẫu như vậy. Số 42.705,684 là
Để ý cách các số mũ hạ dần xuống không rồi chuyển thành số âm. Hệ số này quá đỗi quen thuộc khiến ta thường không nhận ra vẻ duyên dáng của cấu trúc nền tàng. Ta đều biết rằng 3 cộng 4 thì bằng 7. Tương tự, 30 cộng 40 được 70, 300 thêm 400 là 700 và 3000 thêm 4000 được 7000. Đó chính là nét đẹp của hệ Hindu-Arabic. Khi bạn cộng các số thập phân bất kể dài thế nào, bạn chỉ việc làm theo một quy trình chia nhỏ vấn đề thành từng bước. Các bước ấy không có gì phức tạp hơn là cộng các cặp số đơn. Đó là lý do vì sao cách đây rất lâu vài người bắt bạn phải nhớ bảng phép cộng này:
Bảng phép cộng
Tìm hai số mà bạn muốn cộng ở hàng trên cùng và cột bên trái. Nhìn theo đường dọc và ngang để tìm ra tổng. Ví dụ, 4 cộng 6 bằng 10.
Tương tự, khi bạn muốn nhân hai số thập phân, bạn làm theo quy trình hơi phức tạp một chút nhưng cũng vẫn là chia nhỏ vấn đề để không phải làm gì rắc rối ngoài việc cộng hay nhân các số thập phân đơn. Ở bậc tiểu học có thể còn bắt phải nhớ bảng nhân:
Bảng phép nhân
Điều tốt nhất về hệ thứ tự số không phải là việc nó hoạt động mượt thế nào, mà là cái mượt đó có dùng được cho hệ đếm không dựa trên mười không. Hệ chữ số của ta thì không nhất thiết là phải phù hợp cho tất cả mọi người. Một vấn đề lớn với hệ mười chữ số là nó chả thích hợp mấy với các nhân vật hoạt hình. Đa phần các nhân vật hoạt hình chỉ có bốn ngón trên mỗi bàn tay (hay chân), nên chúng sẽ thích hệ chữ số dựa trên tám hơn. Thú vị làm sao, những gì ta biết về hệ đếm mười có thể ứng dụng được cho hệ số thích hợp hơn với các người bạn hoạt hình này.
0
Open to Work
Looking for a Fullstack Ruby on Rails developer?
I am open to new remote/hybrid opportunities and contract work.
