Linear combination, span, basis vector

Vector là các đại lượng với độ dài và hướng trong không gian. Không gian 2 chiều với trục hoành x, trục tung y, một vector được vẽ từ gốc toạ độ với toạ độ \(\vec{v} = (1, 2)\) thì 1 là độ dài trên trục x, 2 là độ dài trên trục y.

Cộng 2 vector lấy \(x_1 + y_1, x_2 + y_2\). Nhân vô hướng với số n thì lấy \(nx_1, ny_1\).

Basis vector là 2 vector được dùng làm gốc, các vector khác sẽ scale theo nó dựa vào một scalar. Scale nghĩa là co giãn hoặc thay đổi hướng vector. Scalar là các số nhân vào để scale vector.

Span là toàn bộ không gian các vector có thể bao phủ hệ trục toạ độ.

Linear combination kết hợp tuyến tính là sự kết hợp giữa 2 vector.

Nếu 2 vector độc lập tuyến tính nghĩa là chúng không cùng nằm trên một đường thẳng hoặc không là gốc toạ độ thì span của chúng là toàn bộ mặt phẳng 2 chiều của hệ trục toạ độ. Khi đó các tổ hợp tuyến tính của nó có thể chạm đến các điểm trên toàn hệ. Còn nếu phụ thuộc tuyến tính thì nó chỉ nằm trên một đường thẳng di chuyển lên xuống. Điểm tới của nó là tất cả các điểm trên đường thẳng.

Xét hệ 3D, thì span của 3 vector độc lập tuyến tính là toàn bộ không gian 3 chiều. Nếu có 1 vector phụ thuộc thì nó dư thừa và span là một mặt phẳng chứa 2 vector còn lại.