$ today_i_learn

Ma trận đảo là biến đổi đảo ngược không gian về ban đầu sau khi biến đổi gốc. Để giải hệ phương trình tuyến tính 3 biến ta quy về Ax = v. Để tính x ta nhân ma trận đảo của A ở 2 vế được x = A(đảo)v.

Đó là khi det khác 0. Nếu det = 0 thì ta không thể đảo ngược không gian từ đường thẳng thành mặt phẳng được. Column space là span của các vector cột trong ma trận. Khi det = 0 column space của 2D là một đường thẳng.

Rank là số chiều của column space. Nếu det khác 0 thì rank là số chiều không gian. Và không gian cột bao trùm số chiều theo rank.

Null space là không gian mà sau transform bị nén về toạ độ gốc. Ở 2D nếu rank là 2 thì null space là 0, nếu rank là 1 (đường thẳng) thì null space là 1 (cũng là một đường thẳng). Để ý rank + null space = Số chiều không gian gốc.

Với 3D, nếu sau transform rank là 2 (mặt phẳng) thì null space là 1 đường thẳng, nếu rank là 1 thì null space là mặt phẳng.

Khi không gian bị thay đổi nó làm thay đổi grid và dẫn tới thay đổi diện tích trên không gian đó. Determinant là mức độ scale trên không gian. det = 2 nghĩa là diện tích các hình trên không gian đó tăng lên gấp đôi. Nếu det là số âm có nghĩa là không gian bị đảo, bình thường j mũ nằm bên trái i mũ, sau khi transform j mũ nằm bên phải i mũ, det là số âm.

Tính det của ma trận [a b, c d] = ad - bc.

Nếu det = 0 nghĩa là không gian bị nén lại về chiều thấp hơn và không thể bị đảo được hoặc có thể về gốc. Nói cách khác span có thể là đường thẳng hoặc i và j phụ thuộc tuyến tính.

det(M1M2) = det(M1)det(M2)

Khi transform không gian thành M2 rồi transform M1 tiếp được không gian mới có det(M1M2) chính bằng 2 lần biến đổi M1 M2 với det nhân lại. det(M1M20) = 6 thì có thể là det(M1) lần đầu scale không gian lên 3 lần, scale (M2) tiếp từ đó (M1) lên 2 lần nữa thì được kết quả 6.

Nhân 2 ma trận giống như là áp dụng transform 2 lần theo thứ tự phải trước trái sau. Nếu đổi thứ tự thì ma trận kết quả sẽ khác nhau. Ví dụ: nếu xoay 90 độ rồi lật sẽ khác với lật rồi xoay 90 độ.

Tích của 2 ma trận là tìm ra 2 vector cơ bản cho không gian mới biến đổi. Ví dụ M1 x M2 thì 2 cột của M2 là i và j đã được biến đổi. Nhân với M1 là áp dụng biến đổi đó với i và j, lấy i nhân M1 được cột trái và j nhân M1 được cột phải của ma trận kết quả.

Tích 2 ma trận là một composition. Muốn tìm vector được biến đổi bởi composition ta áp dụng 2 lần transform cho vector đó.

Transformation thực chất là function nhưng gọi vậy là để hình dung vector đang bị biến đổi (ánh xạ) trong không gian. Linear transformation (biến đổi tuyến tính) là biến đổi không gian sao cho các đường thẳng phải song song và cách đều nhau với gốc không đổi.

Dùng các điểm để dễ hình dung sự biến đổi này.

Matrix (ma trận) là sự biến đổi này trong không gian áp dụng vào các basis vector \(\hat{i}, \hat{j}\).

Phải giữ được 2 tính chất: - Biến đổi tuyến tính phải giữ được tính cộng. Cộng 2 vector rồi chuyển đổi phải bằng với tổng của 2 lần chuyển đổi vector. - Scale: nhân vector đã chuyển đổi bằng chuyển đổi tích của vector.

Khi nhân vector với ma trận là đang chuyển đổi vector đó sang không gian mới (không gian của ma trận đó).

Vì mọi vector đều được biểu diễn bằng basis vector \(\hat{i}, \hat{j}\) nên chỉ cần biết chúng được chuyển đổi ra sao là tìm được các vector cần chuyển đổi.

Để tính nhân vector [x, y] với ma trận, lấy x nhân với \(\hat{i}\) y nhân với \(\hat{j}\) rồi cộng x theo x y theo y là được vector mới.

Vector là các đại lượng với độ dài và hướng trong không gian. Không gian 2 chiều với trục hoành x, trục tung y, một vector được vẽ từ gốc toạ độ với toạ độ \(\vec{v} = (1, 2)\) thì 1 là độ dài trên trục x, 2 là độ dài trên trục y.

Cộng 2 vector lấy \(x_1 + y_1, x_2 + y_2\). Nhân vô hướng với số n thì lấy \(nx_1, ny_1\).

Basis vector là 2 vector được dùng làm gốc, các vector khác sẽ scale theo nó dựa vào một scalar. Scale nghĩa là co giãn hoặc thay đổi hướng vector. Scalar là các số nhân vào để scale vector.

Span là toàn bộ không gian các vector có thể bao phủ hệ trục toạ độ.

Linear combination kết hợp tuyến tính là sự kết hợp giữa 2 vector.

Nếu 2 vector độc lập tuyến tính nghĩa là chúng không cùng nằm trên một đường thẳng hoặc không là gốc toạ độ thì span của chúng là toàn bộ mặt phẳng 2 chiều của hệ trục toạ độ. Khi đó các tổ hợp tuyến tính của nó có thể chạm đến các điểm trên toàn hệ. Còn nếu phụ thuộc tuyến tính thì nó chỉ nằm trên một đường thẳng di chuyển lên xuống. Điểm tới của nó là tất cả các điểm trên đường thẳng.

Xét hệ 3D, thì span của 3 vector độc lập tuyến tính là toàn bộ không gian 3 chiều. Nếu có 1 vector phụ thuộc thì nó dư thừa và span là một mặt phẳng chứa 2 vector còn lại.